Question

已知函數(shù)f（x）=

1

4

x4-ax²+2x（a∈R）．
（Ⅰ）若a=

3

2

，求函數(shù)f（x）極值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f′（x）+（2a-1）x²+a²x-2，若函數(shù)F（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f′（x），解f′（x）=0，討論各區(qū)間的導(dǎo)數(shù)的符號判斷極值點，求極值；
（Ⅱ）函數(shù)F（x）在[0，1]上單調(diào)遞增”得到導(dǎo)數(shù)大于或者等于0恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)只要最小值大于或者等于0，即得a的范圍．

解答： （Ⅰ）解：當(dāng)a=

3

2

時，f'（x）=x³-3x+2=（x-1）²（x+2）=0，
解得：x=1或x=-2．…（2分）
∵當(dāng)x∈（-∞，-2）時，f'（x）＜0；
當(dāng)x∈（-2，1）時，f'（x）＞0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0．…（4分）
∴f（x）的極小值為f（-2）=-6．…（5分）
（Ⅱ）由已知，F(xiàn)（x）=x³+（2a-1）x²+（a²-2a）x，
因為函數(shù)F（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
所以F'（x）=3x²+（4a-2）x+a²-2a≥0在[0，1]上恒成立，…（7分）
即F′(x)=3(x+

2a-1

3

)2-

(a+1)2

3

．
（1）當(dāng)對稱軸x=

1-2a

3

∈(0，1)時，
只要-

(a+1)2

3

≥0，即a∈ϕ，…（9分）
（2）當(dāng)對稱軸x=

1-2a

3

≥1或x=

1-2a

3

≤0時，
只要

F′(0)≥0 F′(1)≥0.

即

a2-2a≥0 3+2(2a-1)+a2-2a≥0.

得a≤-1或a≥2．…（11分）
綜上所述，a≤-1或a≥2．…（12分）
解法二：F（x）=x³+（2a-1）x²+（a²-2a）x，F(xiàn)'（x）=3x²+（4a-2）x+（a²-2a）=（3x+a-2）（x+a）．…（6分）
由已知得：F'（x）=（3x+a-2）（x+a）≥0在[0，1]上恒成立，…（8分）
當(dāng)

2-a

3

=-a時，即a=-1時，符合題意；…（9分）
當(dāng)

2-a

3

＞-a時，即a＞-1時，只須-a≥1或

2-a

3

≤0，
∴a≤-1或a≥2，∴a≥2；…（10分）
當(dāng)

2-a

3

＜-a時，即a＜-1時，只須-a≤0或

2-a

3

≥1，
∴a≥0或a≤-1，∴a＜-1．…（11分）
綜上所述，a≤-1或a≥2．…（12分）

點評：本題考查了函數(shù)極值的求法、根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，函數(shù)的最值及根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)最值的方法，函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系．