Question

已知雙曲線x²-

y2

3

=1的左頂點為A₁，右焦點為F₂，P為雙曲線右支上一點，則

PA1

•

PF2

最小值為（　　）

• A、-2
• B、-

  81

  16

• C、1
• D、0

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據題意，設P（x，y）（x≥1），根據雙曲線的方程，易得A₁、F₂的坐標，將其代入

PA1

•

PF2

，可得關于x、y的關系式，結合雙曲線的方程，可得

PA1

•

PF2

═4x²-x-5配方，再由x的范圍，可得答案．

解答： 解：根據題意，設P（x，y）（x≥1），
易得A₁（-1，0），F₂（2，0），

PA1

•

PF2

=（-1-x，y）•（2-x，y）=x²-x-2+y²，
又x²-

y2

3

=1，故y²=3（x²-1），
于是

PA1

•

PF2

=4x²-x-5=4（x-

1

8

）²-5-

1

16

，
當x=1時，取到最小值-2；
故選A．

點評：本題考查雙曲線方程的應用，涉及最值問題；解題的思路是先設出變量，表示出要求的表達式，結合圓錐曲線的方程，將其轉化為只含一個變量的關系式，進而由不等式的性質或函數的最值進行計算．