Question

設數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=a_n+

1

an

（n=1，2，…）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）比較a_n與

2n+1

的大小，并證明你的結論．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）直接由數列遞推式結合數列的首項求得a₂，a₃，a₄的值；
（2）利用數學歸納法證明．

解答： 解：（1）由a₁=2，a_n+1=a_n+

1

an

，得a2=a1+

1

a1

=2+

1

2

=

5

2

，
a3=a2+

1

a2

=

5

2

+

2

5

=

29

10

，a4=a3+

1

a3

=

29

10

+

10

29

=

941

290

；
（2）a_n＞

2n+1

．
下面用數學歸納法證明：
當n=1時，a₁=2，

2×1+1

=

3

，不等式成立；
假設當n=k時不等式成立，即ak＞

2k+1

，
那么，當n=k+1時，由ak+1=ak+

1

ak

，得
(ak+1)2=ak2+

1

ak2

+2＞2k+3+

1

ak2

=2(k+1)+1，
即ak+1＞

2(k+1)+1

．
∴n=k+1時不等式成立．
綜上所述，不等式a_n＞

2n+1

成立．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了利用數學歸納法證明與自然數有關的命題，是中檔題．