Question

18．在平面直角坐標系xoy中，已知圓C的圓心在x正半軸上，半徑為2，且與直線x-$\sqrt{3}$y+2=0相切
（1）求圓C的方程
（2）在圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點A，B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設圓心坐標為（a，0），則2=$\frac{|a+2|}{\sqrt{1+3}}$，求出a=2，由此能求出圓C的方程．
（2）假設存在點M（m，n）在圓C上滿足題設，則有（m-2）²+n²=4．且0≤m≤4，原點到直線l：mx+ny=1的距離d=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{4m}}$＜1，|AB|=2$\sqrt{1-p9vv5xb5^{2}}$，由此能求出存在點M（$\frac{1}{2}$，$±\frac{\sqrt{7}}{2}$），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點A，B，且△OAB的面積取最大值$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）∵圓C的圓心在x正半軸上，半徑為2，且與直線x-$\sqrt{3}$y+2=0相切，
∴設圓心坐標為（a，0），則2=$\frac{|a+2|}{\sqrt{1+3}}$，
由a＞0，解得a=2，
∴圓C的方程為（x-2）²+y²=4．
（2）假設存在點M（m，n）在圓C上滿足題設，
則有（m-2）²+n²=4．
n²=4-（m-2）²=4m-m²，且0≤m≤4，
又∵原點到直線l：mx+ny=1的距離d=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{4m}}$＜1，
解得$\frac{1}{4}＜m≤4$，
∵|AB|=2$\sqrt{1-p9vv5xb5^{2}}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=$\sqrt{p9vv5xb5^{2}-p9vv5xb5^{4}}$
=$\sqrt{\frac{1}{4m}-（\frac{1}{4m}）^{2}}$=$\sqrt{-（\frac{1}{4m}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，
∵$\frac{1}{16}≤\frac{1}{4m}＜1$，∴當$\frac{1}{4m}=\frac{1}{2}$時，S_△OAB有最大值，最大面積為$\frac{1}{2}$，
此時n=$±\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴存在點M（$\frac{1}{2}$，$±\frac{\sqrt{7}}{2}$），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點A，B，且△OAB的面積取最大值$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查圓的方程的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，考查圓、直線方程、點到直線距離公式、弦長公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．