Question

6．已知極坐標系的極點為平面直角坐標系xOy的原點，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標系中的長度單位相同，曲線C的直角坐標方程為（x+1）²+（y-1）²=2，直線l過點（-1，0），且斜率為$\frac{1}{2}$，射線OM的極坐標方程為θ=$\frac{3π}{4}$．
（1）求曲線C和直線l的極坐標方程；
（2）已知射線OM與曲線C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （1）根據圓C的直角坐標方程，能求出圓C的極坐標方程；先求出直線的直角坐標方程，由此能出直線的極坐標方程．
（2）把θ=$\frac{3π}{4}$代入圓C和直線l，能求出P、Q的坐標，由此能求出線段PQ的長．

解答 解：（1）∵曲線C的直角坐標方程為（x+1）²+（y-1）²=2，
∴x²+y²+2x-2y=0，
∵x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C的極坐標方程為ρ²+2ρcosθ-2ρsinθ=0，
即ρ+2cosθ-2sinθ=0，即$ρ=2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$．
∵直線l過點（-1，0），且斜率為$\frac{1}{2}$，
∴直線l的直角坐標方程為y=$\frac{1}{2}$（x+1），即x-2y+1=0，
∵x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直線l的極坐標方程為ρcosθ-2ρsinθ+1=0．
（2）∵射線OM的極坐標方程為θ=$\frac{3π}{4}$．射線OM與曲線C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，
∴當$θ=\frac{3π}{4}$時，|OP|=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}-\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
∴P點坐標為P（2$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），
|OQ|=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，∴Q點坐標為Q（$\frac{\sqrt{2}}{3}，\frac{3π}{4}$），
∴線段PQ的長為：2$\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查曲線和直線的極坐標方程的求法，考查線段長的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．