Question

13．離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且過點（2，0）的橢圓的標準方程是（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$
• B． $\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$或${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$
• C． x²+4y²=1
• D． $\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$或$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$

Answer 1

分析 根據題意，按橢圓的焦點在x軸與y軸上不同分2種情況討論，分別求出橢圓的方程，綜合即可得答案．

解答 解：根據題意，分2種情況討論：
①、若要求橢圓的焦點在x軸上，
若橢圓過點（2，0），則a=2，
又由其離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則c=$\sqrt{3}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
此時橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
②、若要求橢圓的焦點在y軸上，
若橢圓過點（2，0），則b=2，
又由其離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
b²=a²-c²=a²-$\frac{3{a}^{2}}{4}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$=4，
即a²=16，
此時橢圓的方程為：$\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
故要求橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1或$\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
故選：D．

點評 本題考查橢圓的標準方程，注意要先分析明確橢圓的焦點的位置．