Question

2．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若acosB+bcosA=2ccosC，a+b=6，則三角形ABC的面積S_△ABC的最大值是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{9\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 由已知條件結(jié)合正弦定理可得cosC，求出sinC，由a+b=6，利用基本不等式可得ab≤9，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3成立），由三角形面積公式即可得答案．

解答 解：由acosB+bcosA=2ccosC，
得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
即sin（A+B）=sinC=2sinCcosC，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，$sinC=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵a+b=6，可得：6≥2$\sqrt{ab}$，解得：ab≤9，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$≤$\frac{1}{2}×9×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3成立）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．