Question

7．已知圓C經過A（-1，1），且圓心坐標為C（1，1）．
（1）求圓C的標準方程；
（2）設直線l經過點（2，2），且l與圓C相交所得的弦長為2$\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）圓半徑r=|AC|，由此能求出圓C的標準方程．
（2）點（2，2）到圓心C（1，1）的距離d=$\sqrt{2}$，從而點（2，2）在圓C內，當直線l的斜率k不存在時，直線l的方程為x=2，此時弦長為2$\sqrt{3}$，成立；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為kx-y-2k+2=0，圓心到直線l的距離d=$\frac{|1-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{4-3}$=1，求出直線l的方程為y=2．由此能求出結果．

解答 解：（1）∵圓C經過A（-1，1），且圓心坐標為C（1，1）．
∴圓半徑r=|AC|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（1-1）^{2}}$=2，
∴圓C的標準方程為（x-1）²+（y-1）²=4．
（2）點（2，2）到圓心C（1，1）的距離d=$\sqrt{（2-1）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴點（2，2）在圓C內，
∵直線l經過點（2，2），且l與圓C相交所得的弦長為2$\sqrt{3}$，
∴當直線l的斜率k不存在時，直線l的方程為x=2，此時弦長為2$\sqrt{3}$，成立；
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0，
圓心到直線l的距離d=$\frac{|k-1-2k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|1-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{4-3}$=1，解得k=0，
∴直線l的方程為y=2．
綜上，直線l的方程為x=2或y=2．

點評 本題考查圓的方程和直線方程的求法，考查圓、直線方程、兩點間距離公式、點到直線距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．