Question

14．已知函數f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數，當x＞0時，f（x）=lnx-ax，若函數在定義域上有且僅有4個零點，則實數a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 作出y=lnx與y=ax的函數圖象，利用導數的幾何意義得出a的臨界值，從而得出a的范圍．

解答 解：∵f（x）是偶函數，且f（x）有4個零點，
∴f（x）在（0，+∞）上有2個零點，
∴y=lnx與y=ax有2個交點，
作出y=lnx與y=ax的函數圖象如圖所示：

設y=ax與y=lnx相切，切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=a{x}_{0}}\\{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}}=a}\end{array}\right.$，解得x₀=e，y₀=1，a=$\frac{1}{e}$．
∴當0$＜a＜\frac{1}{e}$時，直線y=ax與y=lnx在（0，+∞）上有2個交點，
故答案為（0，$\frac{1}{e}$）．

點評 本題考查了函數零點與函數圖象的關系，屬于中檔題．