Question

5．已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數，其圖象關于點$M（\frac{3π}{4}，0）$對稱，且在區間$[{0，\frac{π}{2}}]$上是單調函數，則ω的值是（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{2}{3}$或2
• D． 無法確定

Answer 1

分析 根據三角函數的奇偶性、誘導公式求得f（x）的解析式，再利用余弦函數的單調性以及它的圖象的對稱性，求得ω的值．

解答 解：∵函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數，∴φ=$\frac{π}{2}$，f（x）=cosωx．
根據它的圖象關于點$M（\frac{3π}{4}，0）$對稱，可得$ω•\frac{3π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即ω=$\frac{4}{3}$k+$\frac{2}{3}$①；
又f（x）在區間$[{0，\frac{π}{2}}]$上是單調函數，∴ω•$\frac{π}{2}$≤π，即ω≤2 ②，
結合①②可得ω=$\frac{2}{3}$或ω=2，
故選：C．

點評 本題主要考查三角函數的奇偶性、誘導公式，余弦函數的單調性以及它的圖象的對稱性，屬于基礎題．