Question

10．在直角坐標系xoy中，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，設曲線C參數方程為 $\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），直線l的極坐標方程為  3ρcosθ+4ρsinθ=2．
（Ⅰ）寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程
（Ⅱ）求曲線C上的動點到直線l距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C參數方程消去參數θ，能求出曲線C的普遍方程；由直線l的極坐標方程能求出直線l的直角坐標方程．
（Ⅱ）曲線C它表示以（1，2）為圓心，1為半徑圓，求出圓心到直線l的距離d=$\frac{9}{5}$，由此能求出曲線C上的點到直線l上的最短距離．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C參數方程為 $\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），
∴曲線C的普遍方程是（x-1）²+（y-2）²=1，
它表示以（1，2）為圓心，1為半徑圓，
∵直線l的極坐標方程為 3ρcosθ+4ρsinθ=2．
∴直線l的直角坐標方程為3x+4y-2=0．
（Ⅱ）由（1）知曲線C它表示以（1，2）為圓心，1為半徑圓，
設圓心到直線l的距離為d，則d=$\frac{|3+8-2|}{\sqrt{9+16}}$=$\frac{9}{5}$，
∴曲線C上的點到直線l上的最短距離為$\frac{9}{5}-1=\frac{4}{5}$．

點評 本題考查曲線的普通方程和直線的直角坐標方程的求法，考查曲線的點到直線上的最短距離的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．