Question

13．已知函數f（x）=ln（1+x）（x＞0），g（x）=$\frac{ax}{x+2}$．
（Ⅰ）求f（x）在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）＞g（x）對x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）n∈N^*時，比較$g（1）+g（\frac{1}{2}）+g（\frac{1}{3}）+…+g（\frac{1}{n}）$與f（n）的大小并證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程，即可得到所求切線的方程；
（Ⅱ）由題意即為ln（1+x）-$\frac{ax}{x+2}$＞0在x＞0恒成立，即有a＜$\frac{（x+2）ln（x+1）}{x}$在x＞0恒成立，設h（x）=$\frac{（x+2）ln（x+1）}{x}$-2=$\frac{（x+2）ln（x+1）-2x}{x}$，x＞0，求出導數，判斷單調性，由恒成立思想即可得到a的范圍；
（Ⅲ）由u（x）=lnx+$\frac{2}{x+1}$，v（x）=lnx+$\frac{2}{x+1}$-1，求出v（x）的導數，求得單調性，推得當x＞1時，lnx+$\frac{2}{x+1}$＞1，即lnx＞$\frac{x-1}{x+1}$，令x=$\frac{k+1}{k-1}$，k∈N*，即ln$\frac{k+1}{k}$＞$\frac{\frac{k+1}{k}-1}{\frac{k+1}{k}+1}$=$\frac{1}{2k+1}$，再由累加法和對數的運算性質，可得ln（n+1）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n+1}$，（n∈N*），再對a討論，即可得到所求大小關系．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）的導數為f′（x）=$\frac{1}{x+1}$，
可得f（x）在x=0處的切線斜率為1，切點為（0，0），
即有f（x）在x=0處的切線方程為y=x；
（Ⅱ）若f（x）＞g（x）對x∈（0，+∞）恒成立，
即為ln（1+x）-$\frac{ax}{x+2}$＞0在x＞0恒成立，
即有a＜$\frac{（x+2）ln（x+1）}{x}$在x＞0恒成立，
設h（x）=$\frac{（x+2）ln（x+1）}{x}$-2=$\frac{（x+2）ln（x+1）-2x}{x}$，x＞0，
由m（x）=（x+2）ln（x+1）-2x的導數為m′（x）=ln（x+1）+$\frac{x+2}{x+1}$-2
=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，x＞0，
由n（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，x＞0，
可得n′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$=$\frac{x}{（x+1）^{2}}$＞0，
可得n（x）在（0，+∞）遞增，即有n（x）＞n（0）=0，
則m′（x）＞0，m（x）在m（x）在（0，+∞）遞增，即有m（x）＞m（0）=0，
即有h（x）＞0恒成立，即$\frac{（x+2）ln（x+1）}{x}$＞2在x＞0恒成立，
則a的范圍是（-∞，2]；
（Ⅲ）由u（x）=lnx+$\frac{2}{x+1}$的定義域為（0，+∞），
令v（x）=lnx+$\frac{2}{x+1}$-1，
則v′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$=$\frac{1+{x}^{2}}{x（x+1）^{2}}$＞0，
∴v（x）在（0，+∞）為增函數，
當x＞1時，v（x）＞v（1）=0，即u（x）＞1；
當0＜x＜1時，v（x）＜v（1）=0，即u（x）＞1，
當x=1時，v（x）=v（1）=0，即u（1）=1，
當x＞1時，
lnx+$\frac{2}{x+1}$＞1，即lnx＞$\frac{x-1}{x+1}$，
令x=$\frac{k+1}{k-1}$，k∈N*，
即ln$\frac{k+1}{k}$＞$\frac{\frac{k+1}{k}-1}{\frac{k+1}{k}+1}$=$\frac{1}{2k+1}$，
∴ln（n+1）=ln$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n+1}$，
即ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（1+n）-lnn＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n+1}$，
即有ln（n+1）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n+1}$，（n∈N*），
又$g（1）+g（\frac{1}{2}）+g（\frac{1}{3}）+…+g（\frac{1}{n}）$=a（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n+1}$），
f（n）=ln（1+n），
當0≤a≤1時，即有$g（1）+g（\frac{1}{2}）+g（\frac{1}{3}）+…+g（\frac{1}{n}）$＜f（n）；
當a＜0時，$g（1）+g（\frac{1}{2}）+g（\frac{1}{3}）+…+g（\frac{1}{n}）$＜f（n）；
當a＞1時，$g（1）+g（\frac{1}{2}）+g（\frac{1}{3}）+…+g（\frac{1}{n}）$與f（n）的大小關系不確定．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性、極值、最值，考查了證明不等式的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．