Question

4．已知函數f（x）滿足當x∈（1，2）時，f（x-1）=2f（$\frac{1}{x-1}$），當x∈（1，3]時，f（x）=lnx，若函數g（x）=$\frac{f（x）-ax}{x-1}$在區間[$\frac{1}{3}$，1）∪（1，3]上有三個不同的零點，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． （0，$\frac{1}{，e}$）
• B． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{，e}$）
• C． （$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{，e}$）
• D． （0，$\frac{ln3}{3}$）

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，令g（x）=0可得a=$\frac{f（x）}{x}$，令h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，判斷h（x）的單調性，計算極值，作出函數單調性，利用函數圖象得出a的范圍．

解答 解：∵當x∈（1，2）時，f（x-1）=2f（$\frac{1}{x-1}$），
∴當0＜x＜1時，f（x）=2f（$\frac{1}{x}$），
∴當x∈[$\frac{1}{3}$，1）時，f（x）=2f（$\frac{1}{x}$）=2ln$\frac{1}{x}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2ln\frac{1}{x}，x∈[\frac{1}{3}，1）}\\{lnx，x∈（1，3]}\end{array}\right.$，
令g（x）=0得a=$\frac{f（x）}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-2lnx}{x}，x∈[\frac{1}{3}，1）}\\{\frac{lnx}{x}，x∈（1，3]}\end{array}\right.$，
令h（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-2lnx}{x}，x∈[\frac{1}{3}，1）}\\{\frac{lnx}{x}，x∈（1，3]}\end{array}\right.$，
則h′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2lnx-2}{{x}^{2}}，x∈[\frac{1}{3}，1）}\\{\frac{1-lnx}{{x}^{2}}，x∈（1，3]}\end{array}\right.$，
∴當x∈[$\frac{1}{3}$，1）時，h′（x）＜0，
當x∈（1，e）時，h′（x）＞0，當x∈（e，3]時，h′（x）＜0，
∴h（x）在[$\frac{1}{3}$，1）上單調遞減，在（1，e]上單調遞增，在（e，3]上單調遞減，
∴h（$\frac{1}{3}$）=6ln3，h（e）=$\frac{1}{e}$，h（3）=$\frac{ln3}{3}$，
作出h（x）的大致函數圖象如圖所示：

∵函數g（x）=$\frac{f（x）-ax}{x-1}$在區間[$\frac{1}{3}$，1）∪（1，3]上有三個不同的零點，
∴h（x）=a有3個解，
∴$\frac{ln3}{3}≤a＜\frac{1}{e}$，
故選B．

點評 本題考查了函數零點與函數圖象的關系，函數單調性的判斷與極值計算，屬于中檔題．