Question

8．若?x＞0，e^x-1+1≥a+lnx，則a的最大值為2．

Answer 1

分析 由題意：轉(zhuǎn)化為a≤e^x-1+1-lnx=（e^x-1-x）+（x+1-lnx），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性求最值，即可得解．

解答 解：?x＞0，e^x-1+1≥a+lnx轉(zhuǎn)化為a≤e^x-1+1-lnx=（e^x-1-x）+（x+1-lnx），
令f（x）=（e^x-1-x）+（x+1-lnx）
則f′（x）=${e}^{x-1}-\frac{1}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，則f（x）是單調(diào)遞減．
當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，則f（x）是單調(diào)遞增．
故得f（x）_min=2．
∴a≤2，
即a的最大值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性求最值問題解決恒成立的問題．