Question

20．（1）已知函數f（x）=e^x+m-lnx，若x=1是函數f（x）的極值點，求m的值，并討論f（x）的單調性；
（2）已知f（x）=xe^x，g（x）=-（x+1）²+a，若?x₁，x₂∈[-2，0]，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數的極值，求出m的值，得到f（x）的表達式，從而求出f（x）的單調區間即可；
（2）分別根據導數和二次函數的性質求出其最小值和最大值得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+m-$\frac{1}{x}$，若x=1是函數f（x）的極值點，
則f′（1）=e^1+m-1=0，解得：m=-1，
故f（x）=e^x-1-lnx，f′（x）=e^x-1-$\frac{1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）f'（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，
當x＞-1時，f'（x）＞0，函數遞增；
當x＜-1時，f'（x）＜0，函數遞減，
所以當x=-1時，f（x）取得極小值即最小值 f（-1）=-$\frac{1}{e}$
函數 g（x）的最大值為a，若?x₁，x₂∈R使得f（x₁）≤g（x₂）成立．
則有g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，
即a≥-$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題、屬于中檔題