Question

19．在四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$=（1，1），$\frac{{\overrightarrow{BA}}}{{|{\overrightarrow{BA}}|}}$+$\frac{{\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{BC}}|}$=$\frac{{\sqrt{3}\overrightarrow{BD}}}{{\overrightarrow{|{BD}|}}}$，則四邊形ABCD的面積為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根據已知條件可判定四邊形ABCD是菱形，并且邊長為$\sqrt{2}$，對等式$\frac{{\overrightarrow{BA}}}{{|{\overrightarrow{BA}}|}}$+$\frac{{\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{BC}}|}$=$\frac{{\sqrt{3}\overrightarrow{BD}}}{{\overrightarrow{|{BD}|}}}$，兩邊平方可得cos∠ABC，從而求出sin∠ABC，根據四邊形ABCD的面積S=BA•BC•sin∠ABC，即可求出答案．

解答 解：四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$=（1，1），∴四邊形ABCD是平行四邊形；
∵$\frac{{\overrightarrow{BA}}}{{|{\overrightarrow{BA}}|}}$、$\frac{{\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{BC}}|}$、$\frac{{\sqrt{3}\overrightarrow{BD}}}{{\overrightarrow{|{BD}|}}}$都是單位向量，$\frac{{\overrightarrow{BA}}}{{|{\overrightarrow{BA}}|}}$+$\frac{{\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{BC}}|}$=$\frac{{\sqrt{3}\overrightarrow{BD}}}{{\overrightarrow{|{BD}|}}}$，
∴四邊形ABCD是菱形，且邊長為$\sqrt{2}$，∴${（\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}+\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}）}^{2}$=${（\frac{\sqrt{3}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BD}|}）}^{2}$，
整理得：$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|•|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{1}{2}$，cos∠ABC=$\frac{1}{2}$，∴sin∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故四邊形ABCD的面積為S=$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
故選：A．

點評 本題主要考查平面向量的運算及其幾何意義，求解本題的關鍵是判斷出四邊形ABCD是菱形，屬于中檔題．