Question

18．給出下列命題：
①存在實(shí)數(shù)x，使$sinx+cosx=\frac{3}{2}$；
②若α，β是第一象限角，且α＞β，則cosα＜cosβ；
③函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，得到函數(shù)$y=sin（2x+\frac{π}{4}）$的圖象；
④定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（-x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=2x，
則f（2015）=-2．
其中正確命題是④（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析 ①，由 sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）$≤\sqrt{2}$；不可能；
②舉反例：α=420⁰，β=10⁰是第一象限角，且α＞β，則cosα＞cosβ；
③函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，得到函數(shù)y=2sin2（x+$\frac{π}{4}$）的圖象；
④定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（-x）⇒f（x+2）=f（-x）=-f（x）⇒f（x+4）=f（x）⇒周期T=4；則f（2015）=f（3）=f（-1）．

解答 解：對(duì)于①，由 sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）$≤\sqrt{2}$；不可能，故錯(cuò)；
對(duì)于②，舉反例：α=420⁰，β=10⁰是第一象限角，且α＞β，則cosα＞cosβ，故錯(cuò)；
對(duì)于③，函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，得到函數(shù)y=2sin2（x+$\frac{π}{4}$）的圖象，故錯(cuò)；
對(duì)于④，定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（-x）⇒f（x+2）=f（-x）=-f（x）⇒f（x+4）=f（x）⇒周期T=4；則f（2015）=f（3）=f（-1）=-f（1）=-2，故正確．
故答案：④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假判定，涉及到了三角函數(shù)的概念及性質(zhì)，屬于中檔題．