Question

1．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（-1，3），$\overrightarrow{OB}$=（cosα，-sinα），且∠AOB=$\frac{π}{2}$．
求：$\frac{sin（π-2α）+{cos}^{2}α}{sin2α+cos2α+1}$．

Answer 1

分析 利用平面向量數(shù)量積的運算可求tanα的值，進而利用二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求即可計算得解．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{OA}$=（-1，3），$\overrightarrow{OB}$=（cosα，-sinα），且∠AOB=$\frac{π}{2}$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
∴-cosα-3sinα=0，可得：tan$α=-\frac{1}{3}$，
∴$\frac{sin（π-2α）+{cos}^{2}α}{sin2α+cos2α+1}$=$\frac{2sinαcosα+co{s}^{2}α}{2sinαcosα+2co{s}^{2}α}$=$\frac{2tanα+1}{2tanα+2}$=$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．