Question

10．方程2^x+3^x+5^x=7^x共有（　　）個不同的實根．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 無數多個

Answer 1

分析 令f（x）=$（\frac{2}{7}）^{x}$+$（\frac{3}{7}）^{x}$+$（\frac{5}{7}）^{x}$-1，則方程2^x+3^x+5^x=7^x等價于f（x）=0，根據函數的單調性來判斷函數零點個數．

解答 解：令f（x）=$（\frac{2}{7}）^{x}$+$（\frac{3}{7}）^{x}$+$（\frac{5}{7}）^{x}$-1，則方程2^x+3^x+5^x=7^x等價于f（x）=0．
又f（0）=2＞0，f（2）=-$\frac{11}{49}$＜0，可知方程在（0，2）中有一個實根．
因為f（x）在R上單調遞減，所以方程f（x）=0只有一個實根．
故選：B

點評 本題主要考查了函數的單調性，方程根個數以及構造函數的應用，屬中等題．