Question

20．函數f（x）=x²-4x+3-2lnx的零點個數為  （　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用導數分析函數單調性，再根據函數零點存在性定理易解．

解答 解：函數定義域為（0，+∞），
函數f（x）的導數為$f′（x）=2x-\frac{2}{x}-4=\frac{2{x}^{2}-4x-2}{x}$=$\frac{2（{x}^{2}-2x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0得：x＞$1+\sqrt{2}$，
令f′（x）＜0得：0＜x＜$1+\sqrt{2}$，
∴函數在區間$（0，1+\sqrt{2}）$上遞減，在$（1+\sqrt{2}，+∞）$上遞增，
∵f（1）=0，故x=1為函數一個零點，
又f（2）=4-8+3-2ln2=-1-2ln2＜0，f（e²）=e⁴-4e²-1=e²（e²-4）-1＞0，
故函數在區間（2，e²）內有一個零點，
綜上可得，函數有且只有兩個零點．
故選：C．

點評 本題考查函數零點的存在性定理．利用導數分析函數單調性是解題關鍵．考查了分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．