Question

8．若曲線y=1+log_ax（a＞0且a≠1）在點（1，1）處的切線經過坐標原點，則a=e．

Answer 1

分析 求出函數的導數，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件，可得a的方程，即可求得a，

解答 解：∵y=1+log_ax，
∴y′=$\frac{1}{xlna}$，
∴y′|_x=1=$\frac{1}{lna}$，
∵曲線y=1+log_ax（a＞0且a≠1）在點（1，1）處的切線方程為y-1=$\frac{1}{lna}$（x-1），
∵曲線y=1+log_ax（a＞0且a≠1）在點（1，1）處的切線經過坐標原點，
∴0-1=$\frac{1}{lna}$（0-1），∴a=e
故答案為e．

點評 本題考查利用導數研究曲線上某點處的切線方程的應用，解題時要認真審題，仔細解答．