Question

9．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，其導函數為f'（x），且x＜0時2f（x）+xf'（x）＜0恒成立，則a=f（1），b=2014f（$\sqrt{2014}$），c=2015f（$\sqrt{2015}$）的大小關系為（　　）

• A． c＜b＜a
• B． c＜a＜b
• C． a＜c＜b
• D． a＜b＜c

Answer 1

分析 根據條件構造函數，先確定函數y=x²f（x）在（-∞，0）上是增函數，利用函數的奇偶性和單調性之間的關系，即可得到結論．

解答 解：由題意：當x＜0時，2f（x）+xf'（x）＜0恒成立，
可得：2xf（x）+x²f'（x）＞0恒成立．
構造函數g（x）=x²f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）＞0，
∴g（x）=x²f（x）在（-∞，0）上單調增函數，
∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，
∴當x∈（0，+∞）時，函數g（x）單調增函數．
那么：a=f（1）=g（1），g（$\sqrt{2014}$）=2014²f（$\sqrt{2014}$）=b，g（$\sqrt{2015}$）=2015²f（$\sqrt{2015}$）=c．
∵g（1）＜g（$\sqrt{2014}$）＜g（$\sqrt{2015}$）．
∴c＞b＞a；
故選D．

點評 本題主要考查函數值的大小比較，根據函數的奇偶性構造函數，利用導數研究函數的單調性是解決本題的關鍵．