Question

14．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx+（a-2）x．
（1）當a=1時，求函數f（x）在[1，e]上的最小值和最大值；
（2）當a≤0時，討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）a=1時，求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最值即可；
（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍結合分母為正，分子結合二次函數圖象及性質，找出函數值為正值、負值的區間，得出函數f（x）的單調區間．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx-x，
f′（x）=x-$\frac{2}{x}$-1=$\frac{（x-2）（x+1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，
令f′（x）＜0，解得：x＜2，
∴f（x）在[1，2]遞減，在（2，e]遞增，
∴f（x）的最小值是f（2）=-2ln2，
而f（1）=-$\frac{1}{2}$＜f（e）=$\frac{1}{2}$e²-e，
故f（x）在[1，e]的最大值是f（e）=$\frac{1}{2}$e²-e；
（2）a≤0時，f′（x）=$\frac{（x-2）（x+a）}{x}$，
∴①當-2＜a≤0時，
若x∈（0，-a），f′（x）＞0，f（x）為增函數，
x∈（-a，2），f′（x）＜0，f（x）為減函數，
x∈（2，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數，
②當a=-2時，x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數，
③當a＜-2時，x∈（0，2），f′（x）＞0，f（x）為增函數，
x∈（2，-a），f′（x）＜0，f（x）為減函數，
x∈（-a，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．