Question

19．若全集U=R，函數y=$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x+1}$的定義域為A，函數y=$\sqrt{-{x^2}+2x+8}$的值域為B．
（I）求集合A，B；   
（II）求（∁_UA）∩（∁_UB）．

Answer 1

分析 （I）根據函數解析式由意義求解A集合，求出函數y=$\sqrt{-{x^2}+2x+8}$的值域即得集合B；
（II）求出∁_UA和∁_UB．在求（∁_UA）∩（∁_UB）即可．

解答 解：（I）由題意：函數y=$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x+1}$
其定義域滿足：$\left\{\begin{array}{l}{x-2≥0}\\{1+x≥0}\end{array}\right.$，
解得：x≥2．
所以集合A={x|x≥2}．
函數$y=\sqrt{-{x^2}+2x+8}=\sqrt{-{{（x-1）}^2}+9}$
由二次函數的圖象及性質：可得值域y：0≤y≤3
∴集合B={y|0≤y≤3}．
（II）由（I） 可得：集合A={x|x≥2}，集合B={y|0≤y≤3}．
那么：C_UA={x|x＜2}，
C_UB={x|x＜0或x＞3}，
∴（C_UA）∩（C_UB）={x|x＜0}．

點評 本題考查了函數定義域和值域的求法和集合的交并補的基本運算，屬于基礎題．