Question

9．某研究性學習小組，為了對白天平均氣溫與某奶茶店的某種飲料銷量之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了2月11日至2月16日的白天平均氣溫x（℃）與該奶茶店的這種飲料銷量y（杯），得到如表數據：

日期	2月11日	2月12日	2月13日	2月14日	2月15日	2月16日
平均氣溫x（℃）	10	11	13	12	8	6
飲料銷量y（杯）	22	25	29	26	16	12

該小組的研究方案：先從這六組數據中選取2組，用剩下的4組數據求線性回歸方程，再用被選的2組數據進行檢驗．
（Ⅰ）求選取的2組數據恰好是相鄰兩天的概率；
（Ⅱ）若選取的是11日和16日的兩組數據，請根據12日至15日的數據，求出y關于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，并判斷該小組所得線性回歸方程是否理想．（若由線性回歸方程得到的估計數據與所選的檢驗數據的誤差均不超過2杯，則認為該方程是理想的）

Answer 1

分析 （1）設“選取的2組數據恰好是相鄰2天數據”為事件A，利用列舉法能求出抽出的2組數據恰好是相鄰2天數據的概率．
（2）求出$\overline{x}$，$\overline{y}$．由公式，得$\widehat{b}$=$\frac{18}{7}$，$\widehat{a}$=-$\frac{30}{7}$，從而得到y關于x的線性回歸方程，由此能求出該小組所得線性回歸方程是理想的．

解答 解：（1）設“選取的2組數據恰好是相鄰2天數據”為事件A，
∵所有基本事件（m，n）（其中m，n為2月份的日期數）有：
（11，12），（11，13），（11，14），（11，15），（11，16），
（12，13），（12，14），（12，15），（12，16），（13，14），
（13，15），（13，16），（14，15），（14，16），（15，16）共15個．
事件A包括的基本事件有：
（11，12），（12，13），（13，14），（14，15），（15，16）共5個．
∴抽出的2組數據恰好是相鄰2天數據的概率：
P（A）=$\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$．…（4分）
（2）∵$\overline{x}$=$\frac{11+13+12+8}{4}$=11，
$\overline{y}$=$\frac{25+29+26+16}{4}$=24．
∴由公式，得$\widehat{b}$=$\frac{（10×22+11×25+13×29+12×26+8×16+6×12）-6×11×24}{（1{0}^{2}+1{1}^{2}+1{3}^{2}+1{2}^{2}+{8}^{2}+{6}^{2}）-6×1{1}^{2}}$=$\frac{18}{7}$，
$\widehat{a}$=24-$\frac{18}{7}×11$=-$\frac{30}{7}$，
∴y關于x的線性回歸方程為$\widehat{y}$=$\frac{18}{7}x-\frac{30}{7}$，…（8分）
∵當x=10時，$\widehat{y}$=$\frac{150}{7}$，|$\frac{150}{7}-22$|＜2，
當x=6時，$\widehat{y}$=$\frac{78}{7}$，|$\frac{78}{7}-22$|＜2，
∴該小組所得線性回歸方程是理想的．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查回歸直線方程的應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．