Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^2x-1（x²+ax-2a²+1）．（a∈R）
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=e^2x-1（x²+x-1），
f′（x）=e^2x-1（2x²+4x-1），
∴f（1）=e，f′（1）=5e，
故切線方程是：y-e=5e（x-1），
即y=5ex-4e；
（Ⅱ）f′（x）=e^2x-1[2x²+（2a+2）x-4a²+a+2]，
令f′（x）=0，得：2x²+（2a+2）x-4a²+a+2=0，
而△=4（9a²-3），
當△≤0時，即：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在R遞增．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調性問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．