Question

13．定義在（-2，2）上的函數f（x）=-5x+x⁵，如果f（1+2a²）+f（a-2）＞0，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）

Answer 1

分析 先判斷函數的奇偶性，再判斷函數的單調性，根據定義域優先，由$\left\{\begin{array}{l}{1+2{a}^{2}＜2}\\{-2＜a-2＜2}\end{array}\right.$得0＜a$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，然后結合函數的性質求解即可．

解答 解：因為f（x）=-5x+x⁵
∴f（x）是R上的奇函數，且當x∈[0，2）時，有f′（x）=-5+5x⁴=5（x⁴-1），
因此，當x∈[0，1），f（x）遞減；當x∈（1，2）時，f（x）遞增，且f（x）在x=1處取極小值，
根據定義域優先，由$\left\{\begin{array}{l}{1+2{a}^{2}＜2}\\{-2＜a-2＜2}\end{array}\right.$得0＜a$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以1＜1+2a²＜2，2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜2-a＜2．
由f（1+2a²）＞-f（a-2）=f（2-a），得1+2a²＞2-a，即2a²+a-1＞0，
故a＞$\frac{1}{2}$，或a＜-1，又0＜a≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選D．

點評 本題主要考查函數的定義域，函數的性質，奇偶性和單調性以及極值的問題，屬于中檔題．