Question

11．（1）求函數y=$\frac{2x-1}{x+1}$，x∈[3，5]的最值；
（2）設0≤x≤2，求函數y=4${\;}^{x-\frac{1}{2}}}$-3•2^x+5的最值．

Answer 1

分析 （1）y=$\frac{2x-1}{x+1}$=$\frac{2（x+1）-3}{x+1}$=2-$\frac{3}{x+1}$，利用函數的單調性即可得出．
（2）y=4${\;}^{x-\frac{1}{2}}}$-3•2^x+5=$\frac{1}{2}×（{2}^{x}）^{2}$-3•2^x+5，令2^x=t，由0≤x≤2，可得t∈[1，4]．y=f（t）=$\frac{1}{2}×{t}^{2}$-3t+5=$\frac{1}{2}（t-3）^{2}$+$\frac{1}{2}$，再利用二次函數的單調性即可得出．

解答 解：（1）y=$\frac{2x-1}{x+1}$=$\frac{2（x+1）-3}{x+1}$=2-$\frac{3}{x+1}$，
∵x∈[3，5]，∴$\frac{1}{x+1}$∈$[\frac{1}{6}，\frac{1}{4}]$，
∴y∈$[\frac{5}{4}，\frac{3}{2}]$．
（2）y=4${\;}^{x-\frac{1}{2}}}$-3•2^x+5=$\frac{1}{2}×（{2}^{x}）^{2}$-3•2^x+5，
令2^x=t，∵0≤x≤2，∴t∈[1，4]．
∴y=f（t）=$\frac{1}{2}×{t}^{2}$-3t+5=$\frac{1}{2}（t-3）^{2}$+$\frac{1}{2}$，
∴f（t）_min=f（3）=$\frac{1}{2}$，當t=3，即x=log₂3時取得最小值．
而f（1）=$\frac{5}{2}$，f（4）=1．∴f（t）_max=f（1）=$\frac{5}{2}$，當t=1，即x=0時，取得最大值．

點評 本題考查了反比例函數的單調性、二次函數與指數函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．