Question

16．已知命題p：“對任意x∈R，ax²-ax+1＞0恒成立”，命題q：“若x+y=1，對任意的x＞0，y＞0，$\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}$≥a恒成立．”，若“p或q”為真，“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 若“p或q”為真，“p且q”為假命題，命題p與命題q一真一假，分別求出命題p，q為真時實數a的范圍，分類討論后，綜合可得答案．

解答 解：命題p為真命題時，即對任意x∈R，ax²-ax+1＞0恒成立
（1）當a=0時，1＞0恒成立；
（2）當a≠0時，$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△＜0\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}a＞0\\{a^2}-4a＜0\end{array}\right.⇒0＜a＜4$
所以a∈[0，4）…（4分）
命題q為真命題時，
即若x+y=1，對任意的x＞0，y＞0，$\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}≥a$恒成立$⇒{（\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}）_{min}}≥a$$（\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}）=（\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}）（x+y）=1+\frac{y}{2x}+\frac{x}{2y}≥1+2\sqrt{\frac{y}{2x}×\frac{x}{2y}}=2$
所以a∈（-∞，2]…（8分）
由題知：命題p與命題q一真一假
所以$\left\{\begin{array}{l}0≤a＜4\\ a＞2\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}a＜0或a≥4\\ a≤2\end{array}\right.$
解得：a∈（-∞，0）∪（2，4）…（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了二次函數的圖象和性質，恒成立問題，基本不等式，難度中檔．