Question

8．已知函數f（x）（x＞0）滿足f（1）=e，且f（x）在定義域內的導數f'（x）＜1，f''（1）=1，則不等式f（$\frac{{e{x^2}+e-1}}{e}}$）＜e的解集為{x|x＜-$\frac{\sqrt{e}}{e}$或x＞$\frac{\sqrt{e}}{e}$}．

Answer 1

分析 構造函數g（x）=f（x）-e，可得x＞1，f（x）＜e，利用不等式f（$\frac{{e{x^2}+e-1}}{e}}$）＜e，即可解不等式．

解答 解：構造函數g（x）=f（x）-e，
∵f'（x）＜1，f（1）=e，
∴g（1）=f（1）-e=0，g′（x）=f'（x）-1＜0，
∴x＞1，g（x）＜g（1），
∴f（x）-e＜0，即f（x）＜e，
∵不等式f（$\frac{{e{x^2}+e-1}}{e}}$）＜e，
∴$\frac{{e{x^2}+e-1}}{e}}$＞1，
∴ex²-1＞0，
∴x＜-$\frac{\sqrt{e}}{e}$或x＞$\frac{\sqrt{e}}{e}$，
∴不等式f（$\frac{{e{x^2}+e-1}}{e}}$）＜e的解集為{x|x＜-$\frac{\sqrt{e}}{e}$或x＞$\frac{\sqrt{e}}{e}$}．
故答案為{x|x＜-$\frac{\sqrt{e}}{e}$或x＞$\frac{\sqrt{e}}{e}$}．

點評 考查學生利用導數研究函數單調性的能力，會利用函數的單調性解決實際問題的能力．