Question

17．函數f（x）=x³+bx²+cx+d在區間[-1，2]上是減函數，則b-c的最小值為-$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 求出原函數的導函數，由導函數在x∈[-1，2]上恒成立列出關于b，c的不等式組，然后利用線性規劃知識求得b-c的取值范圍．

解答 解：由f（x）=x³+bx²+cx+d，
則f′（x）=3x²+2bx+c．
要使函數f（x）=x³+bx²+cx+d的區間[-1，2]上是減函數，
則f′（x）=3x²+2bx+c≤0在x∈[-1，2]上恒成立．
所以 $\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）≤0}\\{f′（2）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2b-c≥3}\\{4b+c≤-12}\end{array}\right.$，
以b為橫軸，c為縱軸畫出可行域如圖，

聯立 $\left\{\begin{array}{l}{2b-c=3}\\{4b+c=-12}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
所以可行域上頂點為A（-$\frac{3}{2}$，-6），
令z=b-c，則c=b-z，
結合圖象直線c=b-z過A時，z最小，
此時z=-6-（-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{9}{2}$，
故答案為：-$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了函數的單調性與導函數之間的關系，訓練了利用線性規劃知識求最值，是中檔題．