Question

12．已知數列{a_n}是等比數列，且a₂=4，a₅=32，數列{b_n}滿足：對于任意n∈N*，有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{d_n}滿足：d₁=6，d_n•d_n+1=6a•（-$\frac{1}{2}$）${\;}^{{b}_{n}}$（a＞0），設T_n=d₁d₂d₃…d_n（n∈N*），當且僅當n=8時，T_n取得最大值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過a₂=4、a₅=32，利用等差數列性質可知：a₅=a₂•q³=32，即可求得q的值，求得a₁=2，由等比數列通項公式即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）通過a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2與a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2ⁿ+2作差，通過a_n=2ⁿ，即可求得數列{b_n}的通項公式，由c_n=d_n•d_n+1，T_n=d₁d₂d₃…d_n=$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{1}{c}_{3}…{c}_{n-1}}&{n為偶數}\\{p9vv5xb5_{1}{c}_{2}…{c}_{n-1}}&{n為奇數}\end{array}\right.$，由題意可知：當n≤7時，|c_n|＞1，當n≥8時，|c_n|＜1，列方程即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）∵a₂=4，a₅=32，
由等比數列性質可知：a₅=a₂•q³=32，
∴q³=8，q=2，
∴a₁=2，
∴由等比數列通項公式可知：a_n=2×2^n-1=2ⁿ，
數列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ；
（2）∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴當n≥2時，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2ⁿ+2，
兩式相減得：a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-（n-2）•2ⁿ+2=n•2ⁿ，即b_n=$\frac{n•{2}^{n}}{{2}^{n}}$=n（n≥2），
又∵a₁b₁=2，即b₁=1滿足上式，
∴b_n=n；
（2）令c_n=d_n•d_n+1=6a•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ（a＞0），T_n=d₁d₂d₃…d_n=$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{1}{c}_{3}…{c}_{n-1}}&{n為偶數}\\{p9vv5xb5_{1}{c}_{2}…{c}_{n-1}}&{n為奇數}\end{array}\right.$，
由當且僅當n=8時，T_n取得最大值，
∴|T₂|＜|T₄|＜|T₆|＜|T₈|＞|T₁₀|＞…，|T₁|＜|T₃|＜|T₅|＜|T₇|＞…＞|T₁₁|＞…．
當n≤7時，|c_n|＞1，當n≥8時，|c_n|＜1，
∴6a＞2⁷，即a＞$\frac{64}{3}$，6a＜2⁸，即a＜$\frac{128}{3}$，
∴a的取值范圍（$\frac{64}{3}$，$\frac{128}{3}$）．

點評 本題考查等比數列的通項及前n項和，考查數列與不等式的綜合應用，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．