Question

4．設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）滿足條件：
（1）當x∈R時，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥x；
（2）當x∈（0，2）時，f（x）≤（$\frac{x+1}{2}$）²；
（3）f（x）在R上的最小值為0．求：
（Ⅰ）f（x）的解析式．
（Ⅱ）當f（x）∈[$\frac{1}{4}$，2]時，求x最大的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用對稱軸以及函數的最值列出方程，求出a，b，c即可得到函數的解析式．
（Ⅱ）利用二次函數的閉區間求解函數的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x-4）=f（2-x）知f（x）的對稱軸為x=-1
即$\frac{-b}{2a}=-1$，
由f（x）≥x及x∈（0，2）時，$f（x）≤{（\frac{x+1}{2}）^2}$知f（1）=1
即a+b+c=1，
由f（x）在R上的最小值為0知$\frac{{4ac-{b^2}}}{4a}=0$
即b²=4ac，
解得$a=\frac{1}{4}，b=\frac{1}{2}，c=\frac{1}{4}$
所以$f（x）=\frac{1}{4}{x^2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}$，
（Ⅱ）$f（x）∈[\frac{1}{4}，2]$時x最大的范圍$?\frac{1}{4}≤f（x）≤2$，
解得：$-1-2\sqrt{2}≤x≤-2$或$0≤x≤-1+2\sqrt{2}$，
所以x最大的范圍為$\left\{{x|-1-2\sqrt{2}≤x≤-2或0≤x≤-1+2\sqrt{2}}\right\}$．

點評 本題考查二次函數的最值的應用，二次函數的解析式的求法，考查計算能力．