Question

16．若對任意a∈[3，5]關于x的方程x²-$\frac{m}{a-1}$x-6=0在區間[3，m]上都有實數解，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． {m|m≥4}
• B． {m|m≥2$\sqrt{3}$}
• C． {m|m≤2$\sqrt{3}$或m≥4}
• D． {m|4≤m≤2$\sqrt{3}$}

Answer 1

分析 利用[3，m]推出m＞3，排除選項，然后利用特殊值驗證即可．

解答 解：對任意a∈[3，5]關于x的方程x²-$\frac{m}{a-1}$x-6=0在區間[3，m]上都有實數解，
可得m＞3，所以，C，D不正確；
當m=2$\sqrt{3}$時，關于x的方程x²-$\frac{m}{a-1}$x-6=0化為：x²-$\frac{2\sqrt{3}}{a-1}$x-6=0，
命題轉化為：對任意a∈[3，5]關于x的方程x²-$\frac{2\sqrt{3}}{a-1}$x-6=0在區間[3，2$\sqrt{3}$]上都有實數解，
令y=x²-$\frac{2\sqrt{3}}{a-1}$x-6，則y′=2x-$\frac{2\sqrt{3}}{a-1}$，x∈[3，2$\sqrt{3}$]，a∈[3，5]，y′＞0，函數y=x²-$\frac{2\sqrt{3}}{a-1}$x-6是增函數，
f（2$\sqrt{3}$）=6-$\frac{12}{a-1}$≥0，所以對任意a∈[3，5]關于x的方程x²-$\frac{m}{a-1}$x-6=0在區間[3，m]上沒有實數解，
所以m=2$\sqrt{3}$不成立．
故選：A．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，選擇題的解法，考查分析問題解決問題的能力．