Question

14．（1）在邊長為1的正方形ABCD內任取一點M，求事件“|AM|≤1”的概率；
（2）某班在一次數學活動中，老師讓全班56名同學每人隨機寫下一對都小于1的正實數x、y，統計出兩數能與1構成銳角三角形的三邊長的數對（x，y）共有12對，請據此估計π的近似值（精確到0.001）．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件，求出滿足條件的正方形ABCD的面積，及事件“|AM|≤1”對應平面區域的面積，代入幾何概型計算公式，即可求出答案．
（2）以點A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示：任取兩個小于1的正數x，y，所有基本事件構成區域$Ω=\left\{{（x，y）|\left\{\begin{array}{l}0＜x＜1\\ 0＜y＜1\end{array}\right.}\right\}$，即正方形ABCD內部；事件N=“以x，y與1為邊長能構成銳角三角形”包含的基本事件構成區域$N=\left\{{（x，y）|\left\{\begin{array}{l}0＜x＜1\\ 0＜y＜1\\ x+y＞1\\{x^2}+{y^2}＞1\end{array}\right.}\right\}$，即扇形BAD以外正方形ABCD以內的陰影部分，由幾何概型概率計算公式，得出所取的點在圓內的概率是圓的面積比正方形的面積，二者相等即可估計π的值．

解答 解：（1）如圖，在邊長為1的正方形ABCD內任取一點M，滿足條件的點M落在扇形BAD內（圖中陰影部分），由幾何概型概率計算公式，有：$P（|MA|≤1）=\frac{{{S_{陰影部分}}}}{{{S_{正方形ABCD}}}}=\frac{π}{4}$，
故事件“|AM|≤1”發生的概率為$\frac{π}{4}$．

（2）以點A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示：任取兩個小于1的正數x，y，所有基本事件構成區域$Ω=\left\{{（x，y）|\left\{\begin{array}{l}0＜x＜1\\ 0＜y＜1\end{array}\right.}\right\}$，即正方形ABCD內部；
事件N=“以x，y與1為邊長能構成銳角三角形”包含的基本事件構成區域$N=\left\{{（x，y）|\left\{\begin{array}{l}0＜x＜1\\ 0＜y＜1\\ x+y＞1\\{x^2}+{y^2}＞1\end{array}\right.}\right\}$，即扇形BAD以外正方形ABCD以內的陰影部分；
由（1）知：$P（N）=1-\frac{π}{4}$，
全班56名同學每人隨機寫下一對都小于1的正實數x、y，可以看作在區域Ω中任取56個點；滿足“以x，y與1為邊長能構成銳角三角形”的（x，y）共有12對，即有12個點落在區域N中，
故其概率為$\frac{12}{56}=\frac{3}{14}$，用頻率估計概率，有$1-\frac{π}{4}≈\frac{3}{14}$，即$\frac{π}{4}≈\frac{11}{14}$，
∴$π≈\frac{11}{14}×4=\frac{22}{7}≈3.143$，即π的近似值為3.143．

點評 本題考查了隨機模擬法求圓周率的問題，也考查了幾何概率的應用問題，幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關，而與形狀和位置無關．