Question

5．已知函數f（x）=$\frac{a}{2}$x²-（a²+1）x+alnx（常數a∈R且a≠0），討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析 求導數，分a＜0，a＞1，0＜a＜1，和a=1進行討論，可得f（x）的單調性．

解答 解：f′（x）=ax-（a²+1）+$\frac{a}{x}$=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）（x-a）}{x}$，
（1）當a＜0時，f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）遞減；
（2）當a＞1時，f'（x）＜0解集為（$\frac{1}{a}$，a），f'（x）＞0解集為（0，$\frac{1}{a}$）∪（a，+∞），
∴f（x）在（$\frac{1}{a}$，a）遞減，在（0，$\frac{1}{a}$），（a，+∞）上遞增；
（3）當0＜a＜1時，f'（x）＜0解集為（a，$\frac{1}{a}$），f'（x）＞0解集為（0，a）∪（$\frac{1}{a}$，+∞），
∴f（x）在（a，$\frac{1}{a}$）遞減，在（0，a），（$\frac{1}{a}$，+∞）上遞增；
（4）當a=1時，f'（x）＞0解集為（0，1）∪（1，+∞），
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）上遞增，
且f（x）在x=1不間斷，所以f（x）在（0，+∞）遞增．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，涉及單調性的性質和轉化的思想，屬中檔題．