Question

6．函數y=x+$\sqrt{2-x}$的值域為（　　）

• A． $（\frac{9}{4}，+∞）$
• B． $[\frac{9}{4}，+∞）$
• C． $（-∞，\frac{9}{4}）$
• D． $（-∞，\frac{9}{4}]$

Answer 1

分析 利用換元法轉化為二次函數求解值域即可．

解答 解：由題意：函數y=x+$\sqrt{2-x}$，
令t=$\sqrt{2-x}$，則函數t的值域為[0，+∞），可得：x=2-t²，
那么：函數y=x+$\sqrt{2-x}$轉化為f（t）=2-t²+t，
開口向下，對稱軸t=$\frac{1}{2}$，
∵t≥0，
∴當t=$\frac{1}{2}$時，函數f（t）取得最大值為$f（\frac{1}{2}）_{max}$=$\frac{9}{4}$，
即函數y=x+$\sqrt{2-x}$的最大值為$\frac{9}{4}$．
∴函數y=x+$\sqrt{2-x}$的值域為（-∞，$\frac{9}{4}$]．
故選D．

點評 本題考查了函數值域的求法．高中函數值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數法，4、判別式法；5、換元法，6、數形結合法，7、不等式法，8、分離常數法，9、單調性法，10、利用導數求函數的值域，11、最值法，12、構造法，13、比例法．要根據題意選擇．