Question

1．已知函數f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{2{x^2}}}$．
（1）當a=2時，
①討論函數f（x）的單調性；
②求證：2lnx-x-$\frac{x^2}{2}$≤-$\frac{3}{2}$；
（2）證明：（x-1）（e^-x-x）+2lnx＜$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數的電視，①解關于導函數的不等式求出函數的單調性即可；②求出f（x）的最小值，整理即可；
（2）令$g（x）=（x-1）{e^{-x}}-\frac{x^2}{2}+2x，x＞0$，求出函數的導數，得到g（x）≤g（2），從而證出結論．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），
又$f'（x）=\frac{a}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}=\frac{{a{x^2}-x-1}}{x^3}$，
當a=2時，$f'（x）=\frac{（2x+1）（x-1）}{x^3}$，
①令f'（x）＞0，得x＞1；令f'（x）＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）在區間（0，1）內單調遞減，在區間（1，+∞）內單調遞增，
②由①得：$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{3}{2}$，
$2lnx+\frac{1}{x}+\frac{1}{{2{x^2}}}≥\frac{3}{2}$，
即$2ln\frac{1}{x}+x+\frac{x^2}{2}≥\frac{3}{2}$，
∴$2lnx-x-\frac{x^2}{2}≤-\frac{3}{2}$．
（2）令$g（x）=（x-1）{e^{-x}}-\frac{x^2}{2}+2x，x＞0$，
而g'（x）=（2-x）（e^-x+1），
易知x=2時，g（x）取得最大值，
即$g（x）≤g（2）=\frac{1}{e^2}+2$．
∴（x-1）e^-x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+2x+2lnx-x-$\frac{{x}^{2}}{2}$
=2lnx+（x-1）（e^-x-x）
＜$\frac{1}{{e}^{2}}$+2-$\frac{3}{2}$＜$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的意義以及轉化思想，是一道中檔題．