Question

12．設a、b、c分別是△ABC三個內角A、B、C所對的邊，則a²=c（b+c）是A=2C成立的（　　）

• A． 充要條件
• B． 充分不必要條件
• C． 必要不充分條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 先利用正弦定理把題設等式中的邊的問題轉化成角的正弦，利用二倍角公式化簡整理求得sin（A+C）sin（A-C）=sinCsin（A+C），進而推斷出sin（A-C）=sinC．求得A=2C，運用充分必要條件的定義判斷．

解答 解：由正弦定理可知，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a²=c（b+c）中，
得sin²A=sinC（sinB+sinC）
∴sin²A-sin²C=sinBsinC
∴$\frac{1-cos2A}{2}$-$\frac{1-cos2C}{2}$=sinCsin（A+C）
∴$\frac{1}{2}$（cos2C-cos2A）=sinCsin（A+C）
∴sin（A+C）sin（A-C）=sinCsin（A+C），
因為A、B、C為三角形的三內角，
所以sin（A+C）≠0．所以sin（A-C）=sinC．
所以只能有A-C=C，即A=2C．
∵A=2C．
∴逆推可得a²=c（b+c）
根據充分必要條件的定義判斷：a²=c（b+c）是A=2C的充分必要條件．
故選：A．

點評 本題主要考查了正弦定理了的應用．研究三角形問題一般有兩種思路．一是邊化角，二是角化邊．而正弦定理和余弦定理是完成這種轉化的關鍵