Question

20．如圖，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，E、F分別是AB，PC的中點，二面角P-CD-A=45°．
（1）求證：EF∥面PAD．
（2）求證：面PCE⊥面PCD．

Answer 1

分析 （1）取PD中點為G，證明EFGA為平行四邊形，由EF∥AG，證明EF∥面PAD．
（2）由線面垂直的判定定理證明AG⊥面PCD，從而得到EF⊥面PCD，面PCE⊥面PCD．

解答 證明：（1）取PD中點為G，連FG、AG，
∵F，G分別為中點，∴FG∥CD，且 FG=$\frac{1}{2}$CD．
∵AE∥CD，且 AE=$\frac{1}{2}$CD，
∴四邊形EFGA為平行四邊形，∴EF∥AG，
又EF?面PAD，AG?面PAD，∴EF∥面PAD．
（2）∵PA⊥面ABCD，
∴PA⊥AD，PA⊥CD，
∴Rt△PAD中，∠PDA=45°，∴PA=AD，AG⊥PD，
又CD⊥AD，CD⊥PA，且PA∩AD=A，
∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AG，
又PD∩CD=D，∴AG⊥面PCD，
由（1）知EF∥AG∴，EF⊥面PCD，
又EF?面PCE，∴面PCE⊥面PCD．

點評 本題考查兩個平面垂直的判定定理的應用以及證明線面平行的方法．