Question

10．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-（a+1）x+alnx+4（a＞0）．
（1）求函數f（x）的單調遞減區(qū)間l
（2）當a=2時，函數y=f（x）在[eⁿ，+∞]（n∈Z）有零點，求n的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調性，取特殊值，求出n的最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{x}^{2}-（a+1）x+a}{x}$＜0，
∵x＞0，∴x²-（a+1）+a＜0，即（x-a）（x-1）＜0，
當0＜a＜1時，f（x）在（a，1）遞減，a＞1時，f（x）在（1，a）遞減，a=1時，不存在遞減區(qū)間；
（2）a=2時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx+4，
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-3x+2}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞2，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
∴f（x）極大值=f（1）=$\frac{3}{2}$＞0，f（x）極小值=f（2）=2ln2＞0，
故n∈N時，f（x）在[eⁿ，+∞）內不存在零點，
當n=-1時，f（e^-1）=$\frac{2e-3}{e}$+$\frac{1}{{2e}^{2}}$＞0，
n=-2時，f（e^-2）=$\frac{1-{6e}^{2}}{{2e}^{4}}$＜0，
故在[e^-2，e^-1]內存在一零點，
故函數f（x）在[eⁿ，+∞），（n∈Z）有零點時，n的最大值是-2．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的意義以及分類討論思想，是一道中檔題．