Question

12．如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形．
（1）求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
（2）若AB=4，CD=6，求四邊形EFGH周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）四邊形EFGH為平行四邊形，所以EF∥HG，HG?平面ABD，EF∥平面ABD，可得AB∥平面EFGH，同理可證，CD∥平面EFGH．
（2）構造函數的思想，設EF=x（0＜x＜4），由于四邊形EFGH為平行四邊形，∴$\frac{CF}{CB}=\frac{x}{4}$．則$\frac{FG}{6}=\frac{BF}{BC}$=$\frac{BC-CF}{BC}$=1-$\frac{x}{4}$，從而FG=6-$\frac{3x}{2}$，可得四邊形EFGH的周長l=2（x+6-$\frac{3x}{2}$），由x的范圍可求解．

解答 解：（1）∵四邊形EFGH為平行四邊形，
∴EF∥HG．
∵HG?平面ABD，∴EF∥平面ABD．
∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，AB?平面EFGH．
∴EF∥AB．∴AB∥平面EFGH．
同理可證，CD∥平面EFGH．
（2）設EF=x（0＜x＜4），由于四邊形EFGH為平行四邊形，∴$\frac{CF}{CB}=\frac{x}{4}$．
則$\frac{FG}{6}=\frac{BF}{BC}$=$\frac{BC-CF}{BC}$=1-$\frac{x}{4}$，
從而FG=6-$\frac{3x}{2}$，
∴四邊形EFGH的周長l=2（x+6-$\frac{3x}{2}$）=12-x．
又∵0＜x＜4，則有：8＜l＜12，
∴四邊形EFGH周長的取值范圍是（8，12）．

點評 本題考查了直線與平面平行的證明和構造函數思想求解周長問題．利用平行四邊形的對邊平行相等建立關系．屬于基礎題．