Question

4．已知函數f（x）是定義在（-∞，0）上的可導函數，且有2f（x）+xf′（x）＞x²，則不等式$\frac{1}{4}$（x+2015）²f（x+2015）-f（-2）＞0的解集（　　）

• A． （-∞，-2013）
• B． （-2013，0）
• C． （-∞，-2017）
• D． （-2017，0）

Answer 1

分析 令g（x）=x²f（x），則g'（x）=x²f'（x）+2xf（x）=x（xf'（x）+2f（x））；從而可得g（x）在（-∞，0）上是減函數．

解答 解：令g（x）=x²f（x），
g'（x）=x²f'（x）+2xf（x）=x（xf'（x）+2f（x））；
∵2f（x）+xf'（x）＞x²＞0，x＜0；
∴x（xf'（x）+2f（x））＜0，
∴g（x）=x²f（x）在（-∞，0）上是減函數，
∴$\frac{1}{4}$（x+2015）²f（x+2015）-f（-2）＞0 可化為：
（x+2015）²f（x+2015）＞4f（-2）=（-2）²f（-2）
∴x+2015＜-2，
故x＜-2017；
故選：C．

點評 本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及構造函數的應用，屬中等題．