Question

14．已知O為坐標原點，F是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1（a＞0）的左焦點，A，B分別為C的左右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸，過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E．若直線BM經過OE的中點，則a=（　　）

• A． 3$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{6}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由已知條件得到A，B的坐標，再結合平行線的性質，求出a=3c，得到b²=8c²，求出c²，即可得到a的值．

解答 解：A（-a，0），B（a，0），結合平行線的性質：由MF∥OE，得$\frac{|OE|}{|MF|}=\frac{|AO|}{|AF|}$且$\frac{\frac{1}{2}|OE|}{|MF|}=\frac{|BO|}{|BF|}$，
∴$\frac{|AO|}{|AF|}=2×\frac{|BO|}{|BF|}$，即$\frac{a}{a-c}=2×\frac{a}{a+c}$，則a=3c，則b²=16=8c²，
∴c²=2，a²=18，即a=$3\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的簡單性質，考查了數形結合的思想方法，是中檔題．