Question

2．已知函數f（e^x）=x+e^x，g₀（x）=g_i-1′（x）（i=1，2，3，…），則g₂₀₁₆（ln2）=（　　）

• A． 2016+ln8
• B． 4032+ln4
• C． 2016+21n2
• D． 4032+ln2

Answer 1

分析 令e^x=t（t＞0），求得則f（t）=lnt+t，則求出g₀（x）=xe^x，再根據g_i（x）=g_i-1′（x），遞推找到規律，問題得以解決．

解答 解：令e^x=t（t＞0），則x=lnt（t＞0），
則f（t）=lnt+t，
所以g₀（x）=e^f（x）=e^x+lnx=xe^x，
所以g₁（x）=g₀′（x）=e^x+xe^x，
g₂（x）=g₁′（x）=2e^x+xe^x，
g₃（x）=g₃′（x）=3e^x+xe^x，
所以g_n（x）=g_n-1′（x）=ne^x+xe^x，
所以g₂₀₁₆（x）=（2016+x）e^x，
所以g₂₀₁₆（ln2）=4032+ln4
故選：B

點評 本題考查導數的運算法則，考查導數的計算，屬于基礎題．