Question

7．已知函數f（x）=x³-3x，若對于區間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，則實數c的最小值4．

Answer 1

分析 由題意，對于定義域內任意自變量都使得|f（x₁）-f（x₂）|≤c，可以轉化為求函數在定義域下的最值即可得解．

解答 解：f′（x）=3x²-3，
令f'（x）=0，即3x²-3=0．得x=±1．
當x∈（-∞，-1）時，f′（x）＞0，函數f（x）在此區間單調遞增；
當x∈（-1，1）時，f′（x）＜0，函數f（x）在此區間單調遞減；
因為f（-1）=2，f（1）=-2，
所以當x∈[-2，2]時，f（x）_max=2，f（x）_min=-2．
則對于區間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，所以c≥4．
所以c的最小值為4，
故答案為：4．

點評 此題重點考查了數學中等價轉化的思想把題意總轉化為求函數在定義域下的最值問題，是一道中檔題．