Question

16．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，左頂點為A，過點F作傾斜角為120°的直線l交橢圓的上半部分于點P，此時AP垂直PF，則橢圓C的離心率是$\frac{\sqrt{7}-1}{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的左焦點為Q，由已知，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，可得AF=a+c，AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a+c），PF=$\frac{1}{2}$（a+c），PQ=$\frac{3}{2}$a-$\frac{1}{2}$c，在△PQF中利用余弦定理，構(gòu)造關(guān)于a，c的方程，解得答案．

解答 解：由已知可得：F的坐標(biāo)為（c，0），
由題意知，∠APF=180°-120°=60°，

Rt△AFP中，設(shè)AF=a+c，AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a+c），PF=$\frac{1}{2}$（a+c），
設(shè)橢圓的左焦點為Q，
則QF=2c，PQ=2a-$\frac{1}{2}$（a+c）=$\frac{3}{2}$a-$\frac{1}{2}$c，
在△PQF中：
cosPFQ=cos60°=$\frac{1}{2}$=$\frac{{PF}^{2}+{QF}^{2}-{PQ}^{2}}{2PF•QF}$=$\frac{{\frac{1}{4}（a+c）}^{2}+{4c}^{2}-{（\frac{3}{2}a-\frac{1}{2}c）}^{2}}{（a+c）•2c}$，
即a²-2ac-6c²=0
即6e²+2e-1=0
解得：e=$\frac{\sqrt{7}-1}{6}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{7}-1}{6}$

點評 本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系，橢圓的簡單性質(zhì)，余弦定理，難度中檔．