Question

8．如圖，在半徑為2，圓心角為變量的扇形OAB內作一內切圓P，再在扇形內作一個與扇形兩半徑相切并與圓P外切的小圓Q，設圓P與圓Q的半徑之積為y．
（1）按下列要求寫出函數關系式：
①設∠AOB=2θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}}$），將y表示成θ的函數；
②設圓P的半徑x（0＜x＜1），將y表示成x的函數．
（2）請你選用（1）中的一個函數關系式，求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）①設圓P與圓Q的半徑分別為R、r．由R=（2-R）•sinθ得$R=\frac{2sinθ}{1+sinθ}$，由此能將y表示成θ的函數．
②圓Q的半徑為r，由$\frac{r}{x}=\frac{2-2x-r}{2-x}$，能將y表示成x的函數．
（2）選擇②：由y=-x³+x²（0＜x＜1）得y'=-3x²+2x（0＜x＜1），由此利用導數性質能求出y的最大值．

解答 解：（1）①如圖，設圓P與圓Q的半徑分別為R、r．
由R=（2-R）•sinθ得$R=\frac{2sinθ}{1+sinθ}$，
又$\frac{r}{R}=\frac{2-2R-r}{2-R}$，
∴$r=R-{R^2}=\frac{2sinθ}{1+sinθ}-{（\frac{2sinθ}{1+sinθ}）^2}=\frac{2sinθ•（1-sinθ）}{{{{（1+sinθ）}^2}}}$，
∴$y=r•R=\frac{{4{{sin}^2}θ（{1-sinθ}）}}{{{{（{1+sinθ}）}^3}}}（0＜θ＜\frac{π}{2}）$．（5分）
②圓Q的半徑為r，由$\frac{r}{x}=\frac{2-2x-r}{2-x}$得r=x-x²，
∴y=r•x=-x³+x²（0＜x＜1）．（10分）
（2）選擇②：由y=-x³+x²（0＜x＜1）得y'=-3x²+2x（0＜x＜1），
令y'＞0，得$0＜x＜\frac{2}{3}$； 令y'＜0，得$\frac{2}{3}＜x＜1$．
∴y=-x³+x²（0＜x＜1）在區間$（0，\frac{2}{3}）$上是增函數，在區間$（\frac{2}{3}，1）$上是減函數．
∴當$x=\frac{2}{3}$時，${y_{max}}=\frac{4}{27}$．（15分）

點評 本題考查函數解析式的求法，考查函數值的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．