Question

17．已知△ABC的周長為$\sqrt{2}$+1，且sin A+sin B=$\sqrt{2}$sin C，BC•AC=$\frac{1}{3}$，則$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理求得AB，利用余弦定理求出C的余弦函數值，然后利用向量的數量積求解即可．

解答 解：由題意及正弦定理得AB+BC+AC=$\sqrt{2}$+1，BC+AC=$\sqrt{2}$AB，兩式相減，得AB=1，則BC+AC=$\sqrt{2}$．
由余弦定理的推論，得cos C=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2AC•BC}$=$\frac{（AC+BC）^{2}-2AC•BC-A{B}^{2}}{2AC•BC}$=$\frac{1}{2}$，
所以$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos C=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$．
故答案為：$\frac{1}{6}$．

點評 本題綜合考查余弦定理及平面向量的知識．是基礎題．