Question

9．已知P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上任意一點，F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，則下列關于“|PF₁|•|PF₂|的最大值和最小值”的說法中，正確的結論是（　　）

• A． 有最大值$\sqrt{5}$+1和最小值4
• B． 有最大值5和最小值4
• C． 有最大值5和最小值$\sqrt{5}$-1
• D． 無最大值，最小值4

Answer 1

分析 設P（x₀，y₀），$（-\sqrt{5}≤{x}_{0}≤\sqrt{5}）$．則$\frac{{x}_{0}^{2}}{5}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{4}$=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．可得|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，可得|PF₁|•|PF₂|=a²-${e}^{2}{x}_{0}^{2}$．

解答 解：設P（x₀，y₀），$（-\sqrt{5}≤{x}_{0}≤\sqrt{5}）$．
則$\frac{{x}_{0}^{2}}{5}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{4}$=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1．
F₁（-1，0），F₂（1，0）．
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{4}{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
則|PF₁|•|PF₂|=a²-${e}^{2}{x}_{0}^{2}$=5-$\frac{1}{5}{x}_{0}^{2}$∈[4，5]．
∴|PF₁|•|PF₂|的最大值和最小值分別為5，4．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的第二定義標準方程及其性質、函數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．